Узагальнення зворотних теорем С.Н. Бернштейна і Ш. Валле-Пуссена.

У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані “зворотні теореми” теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f, якщо відомі властивості послідовності її якнайкращих наближень {En_}.

Лема 9. Задамо натуральне число до, і хай

(6.1)

. (6.2)

Тоді

(6.3)

Доказ. Маємо, згідно (2.1)

Але з (2.10) і (6.2) отримуємо

а з (2.2) і (6.1)

Тому

ліва частина цієї нерівності не залежить від n, а тому

і лема доведена.

Для отримання гарних оцінок зазвичай досить узяти . Проте на виключена можливість, що в деяких випадках інший вибір може опинитися переважно.

Теорема 7. Хай к-натуральное число, функція не убуває і

(6.4)

Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.5)

Доказ. Необхідність умови (6.5) витікає із слідства 3.2. Встановимо його достатність, для чого скористаємося лемою 9. Отримуємо:

Покладемо тут ; тоді для матимемо

і тому

і теорема доведена.

Відзначимо два слідства з цієї теореми.

Слідство 7.1. Хай к-натуральное число, функція не убуває і

(6.6)

Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.7)

Слідство 7.2. Хай к-натуральное число і Якщо

(6.8)

то

рівномірно відносно n.

Це витікає з теорем 7 і 6.

Теорема 7 показує, що потрібно додати до умови (6.4), щоб отримати . Тепер ми отримаємо оцінки для виходячи тільки з умов вигляду (6.4). Попутно з'ясовується, що при деяких додаткових обмеженнях на функцію умова (6.5) стає зайвою. Суть справи в тому, що при цих обмеженнях (6.4) вабить (6.5).

Лема 10. Хай

(6.9)

де . Тоді для будь-якого натурального до

(6.10)

Доказ. Зафіксуємо натуральне число n, визначимо натуральне p з умов

і побудуємо послідовність номерів поклавши

Для оцінки представимо у такому вигляді:

Оскільки то звідси

(6.11)

Оцінимо Ul(k). Маємо для l=1,2...,p

звідки

Але є тригонометричний поліном порядку не вище nl. Тому по нерівності С.Н. Бернштейна

(6.12)

Відмітимо тепер, що, через визначення послідовності {nl}

і для

Тому, користуючись ще монотонністю послідовності {Fn}₂знаходимо, що для

(6.13)

При допомозі (6.11), (6.12) і (6.13) знаходимо остаточно:

і лема доведена.

Теорема 8. Для будь-якого натурального до і будь-якого

(6.14)

Доказ. Маємо

Звідси, по лемі 10

Скористаємося тепер лемою 9. Отримуємо:

Якщо то . Крім того

Тому для

і теорема доведена.

Ми звертаємося тепер до розгляду питання про те, при яких обмеженнях на {En} умову (6.4) вабить

Теорема 9. Задамо натуральне число до; хай і . Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.15)

Доказ. Необхідність умови (6.15) витікає з теореми 1. Доведемо його достатність. Згідно теоремі 8, для

Покладемо тут і відмітимо, що тоді для і, через умову _

Тому для

і теорема доведена.

Слідство 9.1. Хай і . Тоді для всіх натуральних класи еквівалентні.

Слідство 9.2. Хай і . Якщо

то для будь-якого фіксованого натурального

рівномірно відносно n.

Розглянемо тепер наступне питання. як зв'язані наближення функції f з наближеннями і диференціальними властивостями її похідних f (r)?

Теорема 10. Задамо натуральне число r, і хай

(6.16)

де

(6.17)

Тоді f має безперервну похідну f(r) і

(6.18)

С.Н. Бернштейн [3] довів таку теорему: якщо ряд сходиться, то функція f має безперервну похідну f (r). Розгляд цього доказу С.Н. Бернштейна показує, що насправді їм встановлене наступне, більш загальна пропозиція: хай виконані умови (6.16) і (6.17). Тоді функція f має безперервну похідну f(r) і рівномірно відносно x. В ході доведення теореми 10 ми знов встановимо цю пропозицію.

Доказ. при . Тому рівномірно відносно x. Звідси витікає, що якщо {nk} (k=0,1,2...) є зростаюча послідовність номерів, то