Узагальнення нерівності С.Н. Бернштейна

У цьому параграфі формулюється одне узагальнення нерівності С.Н. Бернштейна для похідних від тригонометричного полінома.

Теорема 2. Хай . Тоді для будь-якого натурального до

(4.1)

і нерівність звертається в нерівність в тому і лише в тому випадку, якщо

Доказ цієї нерівності опублікований в роботі С.Б. Стечкина [2].

Відзначимо декілька следствий з цієї нерівності.

Слідство 2.1. (нерівність С.Н. Бернштейна):

(4.2)

Вважаючи в (4.1) отримуємо

(ця нерівність доведена С.М. Никольським [5]) але по лемі 2 §2,

звідки і слідує (4.2).

Дві останні нерівності одночасно звертаються в рівність тільки у випадку, якщо

Слідство 2.2. Хай . Тоді

(4.3)

Перша нерівність співпадає із затвердженням теореми 2, а друге витікає з оцінки

(4.4)

Таким чином, для середній член в (4.3) поміщений між двома межами, залежними тільки від q.

Слідство 2.3. Хай . Тоді

(4.5)

Зокрема

(4.6)

Слідство 2.4. Хай Тоді

(4.7)

Зокрема, для маємо

(4.8)

Насправді, з (4.4) або (2.12) слідує:

і залишається скористатися нерівністю (4.5).

Слідство 2.5. Хай Тоді

. (4.9)

Друга половина нерівності співпадає із слідством 2.4, а перша безпосередньо витікає з (2.7).