Узагальнення теореми Джексона

Тут буде отримано невелике посилення теореми Джексона про якнайкращі наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Лема 7. Хай дано натуральне число до. Існує послідовність ядер{Kn(t)}(n=0,1...), де Kn(t) є тригонометричний поліном порядку не вище n, що задовольняє умовам:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Цю лему можна вважати відомою. Як показує простій підрахунок, абсолютно аналогічний Джексоном, що проводився, як ядра Kn(t) можна узяти ядра Джексона достатньо високого ступеня, тобто покласти

де k0-целое, не залежить від n натуральне p визначається з нерівності

,

а bp вибираються так, щоб було виконано нормування (3.1).

Лема 8. Якщо послідовність ядер {Kn(t)} задовольняє всім умовам попередньої леми, то

(3.4)

Доказ. Маємо, користуючись (3.2) і (3.3)

Лема доведена.

Теорема 1. Хай к-натуральное число. Тоді

(3.5)

Доказ. Хай послідовність ядер {Kn(t)} (n=1,1,2...) задовольняє всім умовам леми 7. Покладемо

Очевидно є тригонометричний поліном порядку не вище n-1. Оцінимо Маємо

Тому

(3.6)

Оцінимо останній інтеграл. Вважаючи в нерівності (2.6) отримаємо, що

Звідси і з (3.4) слідує:

Підставляючи цю оцінку в (3.6), отримуємо затвердження теореми. Теорема доведена.

Слідство 1.1. Хай к-натуральное число, r-целое ненегативне. Тоді

(3.7)

Насправді, згідно (2.12)

і застосування теореми 1 дає (3.7).