Прості властивості модулів неперевності

Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції f1, що розглядаються тут, f2 ... - безперервні.

ЛЕМА 1. Для будь-якого натурального до і будь-якого dі0

(2.1)

Доказ: за визначенням

Лема доведена.

ЛЕМА 2. Хай f і l -натуральные числа, l<k. Тоді для будь-якого dі0

(2.2)

І (2.3)

Доказ: Покладемо

Тоді для 0Јl<k маємо

звідки

Звідси при l=0 витікає, що

,

а при 0<l<k

Вважаючи в (2.3) l=1, знаходимо, що

З цієї нерівності видно, що для будь-якого натурального до

. (2.4)

ЛЕМА 3. Для будь-якого натурального до модуль безперервності к-го порядку є безперервною функцією від d.

Доказ: Хай Маємо

Звідси

і

Таким чином

і так як при то звідси витікає безперервність функції і лема доведена.

ЛЕМА 4. Хай до і p-натуральные числа. Тоді для будь-якого dі0

(2.5)

Доказ: Індукція по до дає формулу

Звідси

і

Лема доведена.

ЛЕМА 5. Хай к-натуральное число, d>0, h>0. Тоді

(2.6)

Якщо крім того 0<d<h, то

(2.7)

Доказ: Доведемо спершу нерівність (2.6). Розглянемо випадок для hЈd. Знайдемо натуральне число p з умов

(2.8)

Тоді h<pd-1, і так як -є неубутною функцією від h, то беручи до уваги (2.5) і (2.8), отримаємо

Розглянемо випадок для h<d. Знайдемо натуральне число p з умов

(2.9)

Тоді h<pd, і так як -є неубутною функцією від h, то беручи до уваги (2.5) і (2.9), отримаємо

,

і нерівність (2.6) доведена. Нерівність (2.7) витікає з (2.6), оскільки d+hЈ2h для 0<d<h.

Нерівність (2.7) показує, що для будь-якої fє0 і будь-якого натурального до

(2.10)

Лема доведена.

ЛЕМА 6. Хай f має r-ю похідну f(r). Тоді

(2.11)

і для будь-якого натурального до

(2.12)

Доказ: Обидві нерівності безпосередньо витікають з формули

Якщо k=0, то ми отримуємо формулу (2.11). Лема доведена.