Деякі допоміжні визначення

У роботі розглядаються безперервні функції f з періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через tn(x) позначається тригонометричний поліном порядку не вище n, а через tn*(x)=t_n^*(x,f)-тригонометрический поліном, що найменш ухиляється від f серед всіх tn(x). Ми вважаємо і пишемо

Введемо ряд визначень.

Визначення 1. При кожному фіксованому класом Ліпшиця порядку а називається множина всіх безперервних функція f, модуль безперервності кожною з яких задовольняє умові

де С8-какая-нібудь позитивна постійна, яка не залежить від d і яка, взагалі кажучи, є різною для різних функцій. Цей клас позначається Ha або Lip а.

Визначення 2. Позначимо при фіксованому натуральному r через W(r)L клас функцій f, яка має абсолютно безперервні похідні до (r-1) порядку і у якої r-я похідна належить класу L.

Визначення 3. Для безперервної на [а,b] функції f (x) назвемо модулем безперервності першого порядку або ж просто модулем безперервності функцію w(d)=w(f;d), визначену на [0, b-a] за допомогою наступної рівності:

(1.1)

або, що те ж саме

(1.1')

Властивості модуля безперервності:

w(0)=0;

w(d) є функція, що монотонно зростає;

w(d) є функція безперервна;

w(d) є функція напіваддитивна в тому сенсі, що для будь-яких і

(1.2)

Доказ. Властивість 1) витікає з визначення модуля безперервності.

Властивість 2) витікає з того, що при великих d нам доводиться розглядати sup на ширшій безлічі значень h. Властивість 4) виходить з того, що якщо ми число представимо у вигляді h=h1+h2 і то отримаємо

З нерівності (1.2) витікає, що якщо то

тобто

(1.3)

Тепер доведемо властивість 3). Оскільки функція f (x) рівномірно безперервна на [а,b], то при і, отже, для будь-яких d

при

а це і означає, що функція w(d) безперервна.

Визначення 4. Хай функція f (x) визначена на сегменті [а,b]. Тоді для будь-якого натурального до і будь-яких і h>0 таких, що к-й різницею функції f в точці x з кроком h називається величина

(1.4)

а при і h>0 таких, що к-й симетричною різницею - величина

(1.4')

Лема 1. При будь-яких натуральних j і до справедливо рівність

(1.5)

Доказ. Дійсно, оскільки при будь-якому натуральному до

то

Лема доведена.

Лема 2. При будь-яких натуральних до і n вірна формула:

(1.6)

Доказ. Скористаємося індукцією по до. При k=1 тотожність (1.6) перевіряється безпосередньо:

Припускаючи його справедливість при k-1 (kі2), отримаємо

Лема доведена.

Визначення 5. Якщо вимірна періоду (b-a) функція f(x)Оlq (Lq-класс всіх речових вимірних на [а,b] функції f(x)), то під її інтегральним модулем гладкості порядку kі1 розуміють функцію

Лема 3. Якщо то справедливо

(1.7)

Доказ. Насправді

і так далі. Лема доведена.

Визначення 6. Якщо функція f(x) обмежена на [а,b], то під її модулем гладкості порядку kі1 розуміють функцію

задану для ненегативних значень і у разі, коли k=1, що є модулем безперервності.

Властивості модулів гладкості:

є функція, що монотонно зростає;

є функція безперервна;

При будь-якому натуральному n має місце ( точне) нерівність

(1.8)

а при будь-якому -неравенство

(1.8)

5) Якщо функція f(x) має усюди на [а,b] безперервні похідні до (r-1) -го порядку, і при цьому (r-1) -а похідна то

(1.9)

Доказ. 1) Властивість 1) негайно витікає з того, що

2) Властивість 2) доводиться точно так, як і для випадку звичайного модуля безперервності.
3) Припускаючи для визначеності, що d>d', отримаємо

Цим безперервність функції wk(d) доведена.

Використовуючи рівність лему 2 §1, маємо

Цим нерівність (1.8) доведена. Нерівність (1.8') виходить з монотонності функції wk(t) і нерівності (1.8).

Використовуючи рівність лему 1 і лему 3 §1, отримаємо

Визначення 7. Хай к-натуральное число. Говоритимемо, що функція є модуль безперервності к-го порядку функції f, якщо

де -кінцева різниця функції f к-го порядку з кроком h:

Серед модулів безперервності всіх порядків особливо важливе значення мають випадки k=1 і k=2. Випадок k=1 є класичним; замість ми писатимемо просто і називати цю функцію модулем безперервності; функцію ми називатимемо модулем гладкості.

Визначення 8. Задамо натуральне число до. Говоритимемо, що функція -є функція порівняння к-го порядку, якщо вона задовольняє наступним умовам:

визначена для _

не убуває

Неважко показати, що якщо f є 0, то є функція порівняння к-го порядку (див. Лему 5 §2).

Визначення 9. Зафіксуємо натуральне число до і функцію порівняння к-го порядку . Говоритимемо, що функція f належить до класу якщо знайдеться константа С10>0 така, що

Замість писатимемо просто Hka.

Якщо для послідовності функцій {fn} (n=1,2...)

де С10 не залежить від n, то писатимемо: рівномірно відносно n.

Поняття класів є природним узагальненням класів Ліпшиця і класів функцій, що мають обмежену к-ю похідну.

Визначення 10. Зафіксуємо число a>0 і позначимо через p найменше натуральне число, не менше ніж а (p=-[- а]). Говоритимемо, що функція належить до класу якщо вона

1) є функція порівняння p-го порядку і
2) задовольняє умові: існує константа С11>0 така, що для

Умова 2) є невеликим ослабленням умови « не убуває». Функції класу Na гратимуть основну роль у всьому подальшому викладі.

Визначення 11. Говоритимемо, що функція має порядок якщо знайдуться дві позитивні константи С12 і С13 такі, що для всіх t, для яких визначені функції і _

При виконанні цих умов писатимемо

Визначення 12. Ядром Дирихле n-го порядку називається функція

(1.10)

Це ядро є тригонометричним поліномом порядку n і при цьому

(1.10')

Визначення 13. Ядром фейєра n-го порядку називається функція

(1.11)

Ядро фейєра Fn(t) є середнім арифметичним перших n ядер Дирихле, і означає, є тригонометричним поліномом порядку (n-1). Отже має місце рівність

(1.11')

де Dk(t) -ядра Дирихле.

Визначення 14. Ядром Джексона n-го порядку називається функція

(1.12)

Властивості ядер Джексона.

а) При кожному n ядро Jn(t) є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядка 2n-2 види

де jk=jk(n) - деякі числа

Доказ.

а) Враховуючи, що для ядер Fn(t) фейєра має місце рівність

отримаємо

де jk(k=1,2...,2n-2) -некоторые числа, і зокрема, через ортогональности тригонометричної системи функцій знайдемо

Цим властивість а) доведено.

б) Ця рівність виходить з рівності, отриманої для j0.
в) Оскільки при будь-якому і при (**)то
г) Абсолютно аналогічно злучаю в) отримаємо

Що і потрібно було довести.

Визначення 15. Ядром типу Джексона порядку n називається функція

, (1.13)

n=1,2,3...,k-натуральное, де

(1.13')

Ядра типу Джексона володіють наступними властивостями:

а)
б) При фіксованому натуральному до і довільному n ядро Jn,k(t)

є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядку до(n-1)

в) n2k-1, тобто існують постійні С14>0 і С15>0, такі, що при всіх n=1,2,3... буде
г) При будь-якому s>0 має місце нерівність
д) При будь-якому натуральному

Доказ властивостей ядер типу Джексона.

а) Ця властивість витікає з рівності визначення
б) Ця властивість виходить з 1-ої нерівності визначення і з того, що через рівність (1.11) і (1.11`) буде

(1.14)

де - деякі цілі числа.

в) Враховуючи нерівності (**), матимемо
(1.15)

З іншого боку

(1.15`)

г) Ця нерівність витікає з першої рівності визначення і нерівності (1.15`)
д) Дійсно, з одного боку, через нерівності (1.15`) і (**)

(1.16)

де A-const, а з іншого боку, враховуючи співвідношення (1.15), нерівностей (**) і з нерівності sintЈt, при всіх tі0 (***), маємо

(1.16`)

A1-const. Нерівності (1.16) і (1.16`) рівносильні умові, що і потрібно було довести.