Вступ
Дипломна робота присвячена дослідженню якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами. У ній даються необхідні і достатні умови для того, щоб якнайкращі наближення мали заданий (статечною) порядок убування.
Дипломна робота носить реферативний характер і складається з “Введення” і восьми параграфів.
У справжній роботі ми розглядаємо наступні завдання:
При яких обмеженнях на безперервну функцію F(u) (-1 Ј u Ј +1) її якнайкращі наближення En [F;-1,+1] звичайними многочленами мають заданий порядок j (n-1 )?
При яких обмеженнях на безперервну періодичну функцію f (x) її якнайкраще наближення En[f] тригонометричними поліномами мають заданий порядок j (n-1 )?
Підстановка u=cos(x) зводить завдання 1 до завдання 2. Достатньо, отже, розглядати лише завдання 2.
Ми обмежимося випадком, коли j(d) О N а, для деякого а, де j(d) - функція порівняння р-го порядку і для 0< d<h Ј p
С.Н. Бернштейн, Д. Джексон і Ш. Валле-пуссен отримали залежності між оцінками зверху для En[f] і диференціальних властивостей f. Деякі доповнення до їх теорем доведені А.Зігмундом. нас чекає, тому, отримати залежності між диференціальними властивостями f і оцінками En[f] знизу. Вперше завданнями типу 1 займався С.Н. Бернштейн. А саме, їм отримана ассимптотическое рівність:
,
де m - деяке число.
Наша основна теорема формулюється таким чином:
Хай j О N а. Для того, щоб
необхідно, щоб для будь-якого натурального k>a, і достатньо, щоб для деякого натурального k>a
де
Викладемо тепер стисло зміст кожного з параграфів роботи.
У §1 дається ряд допоміжних визначень, які знадобляться в подальшій роботі.
У §2 виводяться основні властивості модулів безперервності вищих порядків. Майже всі ці властивості використовуються в подальшому тексті.
§3 присвячений узагальненню теореми Джексона. Як відомо, Джексон довів наступну теорему: якщо f має безперервну r-ую похідну f (r), то
Таким чином, теорема Джексона дає оцінку зверху для якнайкращих наближень, якщо відомі диференціальні властивості функції, що апроксимується.
У 1947 р. з'явилася робота С.Н. Бернштейна [1]. Одна з теорем цієї роботи містить як слідство таку пропозицію: хай
Тоді
У §3 доводимо:
(*)
У §4 формулюється доведене в роботі С.Б. Стечкина [2] узагальнення відомої нерівності С.Н. Бернштейна [3], [4] для похідних від тригонометричного полінома. Ми приводимо потім ряд следствий з нашої нерівності (*). Вони грають істотну роль при доказі теорем §5.
У §5 розглядається наступне завдання. Хай тригонометричний поліном tn, близький в рівномірній метриці до заданої функції f або послідовність поліномів {tn} досить добре апроксимує задану функцію f. Як зв'язані тоді диференціальні властивості f з диференціальними властивостями tn?
Якщо tn, утворюється з f за допомогою регулярного методу підсумовування рядів Фурье, то відповідь тривіальна: для того, щоб необхідно і достатньо, щоб рівномірно відносно n. (fОHk[w], якщо ).
Виявляється, що цей результат зберігається і для поліномів якнайкращого наближення: для того, щоб рівномірно відносно n.Відзначимо ще один результат параграфа: для того, щоб необхідно і достатньо щоб
.
§6 присвячений “зворотним теоремам” теорії наближення.
Відома пропозиція: хай
.
Тоді, якщо а не ціле, r=[a], b=a-r, то f має нерперывную похідну .
Випадок цілого а розглянутий Зігмундом. В цьому випадку
.
Неважко показати, що ці дві пропозиції еквівалентні наступному: хай 0<a<k і
.
Тоді
.
У роботі [3] С.Н. Бернштейн довів також еквівалентність умов
і .
Ми переносимо ці теореми на умови вигляду
,
де j О N а.
Крім того, в цьому параграфі доведена, наприклад, така пропозиція: хай до - натуральне число і
;
для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови
.
В кінці параграфа даються уточнення теорем Валле-Пуссена.
У §7 доводиться основна теорема. Ми даємо тут же оцінку En[f] знизу, якщо
.
Саме, тоді
Випадок a=0 встановлений С.Н. Бернштейном [3].
У §8 ми розглядаємо декілька вирішень завдань з використанням різних модулів безперервності.
