Введение

Актуальность исследования

Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике

Задачи исследования:

  • 1. Изучить основные понятия и теоремы евклидовости в математике
  • 2. Рассмотреть разные виды задач, связанных с евклидовыми кольцами, представить их подробное решение

Теоретическая значимость исследования заключается в систематизации теории по евклидовой математике.

Практическая значимость исследования заключается в том, что представлены задачи разного уровня сложности, которые могут быть использованы в практике в практике вузовского обучения. Всего рассмотрено 16 задач

Методы исследования: анализ математической литературы и других информационных источников; обобщение, конкретизация.

Структура работы: данная работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, общим объемом страниц. Во введении обоснована актуальность, ставиться цель и задачи. В первой главе рассматриваются основные понятия и теоремы

эвклидовость математика линейный уравнение

Теоретические основы эвклидовости в математике

Кольца целостности

Пусть В - пустое множество, конечное или бесконечное. Пусть на множестве В определены две бинарные алгебраические операции: сложение и умножение. Множество В вместе с определёнными на нем сложением и умножением элементов, называется коммутативным кольцом, если выполняются следующие аксиомы:

К1. Сложение ассоциативно, т.е. для любых a,b,c место равенство (a+b)+c = a+(b+c)

К2. Сложение коммутативно, т. е. для любых a, b имеет место равенство a+b = b+a

К3. Существует элемент 0В такое, что для каждого a имеет место равенство a+0 = a, где 0 - нулевой элемент

К4. Для каждого а существует элемент -аВ такой, что а+(-а) = 0, где

-а -противоположный элемент

Нуль и противоположные элементы коммутативного кольца обладают следующими свойствами:

  • 1. нуль противоположен самому себе 0 = -0;
  • 2. аналогия знака противоположности элемента с логическим отрицанием: -(-а) = а;
  • 3. из одной части равенства двух сумм любое слагаемое можно перенести в другую часть с противоположным знаком: если a+b = с, то b = -a+c;
  • 4. умножение дистрибутивно по отношению к вычетани: для любых a, b, c имеет место равенство c(a-b) = ca -cb;
  • 5. аннулирование произведения: 0·с = 0, для любого с;
  • 6. правила знаков при умножении: для любых a и b имеет место равенство (-a)b = a(-b) = -(ab), (-a)(-b) = ab;

К5. Умножение ассоциативно, т.е. для любых a, b, c имеет место равенство (ab)c = a(bc)

К6.Умножение коммутативно, т.е. для любых a, b имеет место равенство ab = ba

К7. Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. для любых a, b, c имеет место равенство c(a+b) = ca +cb

Коммутативное кольцо называется кольцом целости, если операция умножения элементов удовлетворяет еще двум аксиомам:

К8. Если ab = 0, то a = 0 или b = 0

К9. Существует элемент 1 0 такой, что для каждого элемента имеет место равенство 1·а = а.

Непустое множество С по отношению к кольцу В называется подкольцом, если С?В и С является кольцом по сложению и умножению, определенным на В. Всегда существующие подкольца кольца В - само кольцо В и нулевое кольцо (кольцо состоящее из одного нуля кольца В) называются тривиальными. Каждое подкольцо некоторого кольца, не являющийся тривиальным, называется его собственным подкольцом.

Если для элементов с и b кольца целостности В, где b0, найдется элемент q такой, что с = bq, то говорят, что с делиться на b и выражают это формулой с b. Определенное таким образом бинарное отношение «b делит с» выражают формулой b/с. Если с 0, то b и q называют делителями элемента с; каждое из них называют дополнительными делителями по отношению к другому.

Отношение делимости обладает следующими свойствами:

  • 1. Свойство транзитивности: если с b и b а, то с а.
  • 2. Пусть s N. Если с1 b, …, сS b, то при любых элементах k1,…, kS имеет место делимость k1с1+...+ kSсSb
  • 3. Пусть m 0. Если а b, то аm bm и обратно.

Элементы е и з (не исключено, что е = з), принадлижащие кольцу целостности и для которых выполняется равенство ез = 1, называются обратными

Для того чтобы кратко охарактеризовать множество всех обратимых элементов кольца целостности В, удобно воспользоваться понятием абелевой группы. Множество Н, на котором определена алгебраическая операция (назовем её умножением), называется абелевой (или коммутативной) группой, если выполняются следующие аксиомы:

Г1. для любых a, b, сН имеет место равенство (ab) с=a(bс),

Г2. для любых a, bН имеет место равенство ab=ba,

Г3. существует элемент 1Н такой, что для каждого аН имеет место равенство 1·а = а, где элемент 1 называется еденицей или нейтральным элементом,

Г4. для каждого аН существует элемент а-1Н такой, что имеет место равенство аа-1=1,где каждый из элементов а и а-1 называется обратным или нейтрализующим по отношению к другому.

Так как алгебраическая операция на группе Н названа умножением и обозначена соответствующим образом, то группу Н называют еще мультипликативной абелевой группой.

Кроме групповых свойств, обратимые элементы обладают еще следующими свойствами по отношению к ненулевым элементам кольца целостности В

  • 1. a е для любых a и е,
  • 2. если а с, то а ес для любого е,
  • 3. если еa с, то a с,
  • 4. если a - необратимый элемент, то при любом е элемент еa также является необратимым,
  • 5. если a с и с a, то существует элемент е такой, что имеет место равенство с = еa.

Биективное отображение кольца В на кольцо на кольцо В? называется изоморфизмом, а кольца В и В? - изоморфными, если при этом биективном отображении соответствие элементов обладает следующими свойствами: если а а?и b b?, то a+b а?+b?.

Теорема. Любой изоморфизм колец целостности В и В? обладает следующими свойствами: а) 0 0?, б) 1 1?, в) если а а?, то -а -а?, г) если ез = 1, е е ?, з з?, то е?з? = 1?.

Кольцо целостности В, в котором, кроме нуля, все элементы являются обратимыми, называется полем.

Каждое числовое поле содержит бесконечно много элементов и поэтов и поэтому называется бесконечным. Существуют и представляют большой интерес конечные поля, которые часто называют полями Галуа.

Теорема 1) Для каждого q = pn, где p - положительное простое число и nN, существует поле Галуа GF(q) и характеристика его равна p.

  • 2) Полей Галуа, количество элемент в которых является степенью простого числа, не существует.
  • 3) Для поля Галуа, содержащие равные количества элементов, изоморфны.

В произвольном (не обязательно конечном) коммутативном кольце с единицей каждый элемент, не являющийся ни нулем, ни делителем нуля, не обратимым элементом, мы будем называть регулярным.

Теорема. В коммутативном настоящем кольце В произведение регулярных элементов является регулярным элементом.

Теорема. В конечном коммутативном кольце с единицей нет регулярных элементов.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >